Линейные блочные коды

Блочный код определяется, как набор возможных кодов, который получается из последовательности бит, составляющих сообщение. Например, если мы имеем К бит, то имеется 2^К возможных сообщений и такое же число кодов, которые могут быть получены из этих сообщений. Набор этих кодов представляет собой блочный код. Линейные коды получаются в результате перемножения сообщения М на порождающую матрицу G[IA]. Каждой порождающей матрице ставится в соответствие матрица проверки четности (n-k)*n. Эта матрица позволяет исправлять ошибки в полученных сообщениях путем вычисления синдрома. Матрица проверки четности находится из матрицы идентичности i и транспонированной матрицы А. G[IA] ==> H[A^TI].

Если , то H[A^TI] =

Синдром полученного сообщения равен

S = [полученное сообщение]^. [матрица проверки четности].

Если синдром содержит нули, ошибок нет, в противном случае сообщение доставлено с ошибкой. Если сообщение М соответствует М=2^k, а k =3 высота матрицы, то можно записать восемь кодов:

Кодовые векторы для этих сообщений приведены во второй колонке. На основе этой информации генерируется таблица 2.8.3, которая называется стандартным массивом. Стандартный массив использует кодовые слова и добавляет к ним биты ошибок, чтобы получить неверные кодовые слова.

Таблица 2.8.3. Стандартный массив для кодов (6,3)

Предположим, что верхняя строка таблицы содержит истинные значения переданных кодов. Из таблицы 2.8.3 видно, что, если ошибки случаются в позициях, соответствующих битам кодов из левой колонки, можно определить истинное значение полученного кода. Для этого достаточно полученный код сложить с кодом в левой колонке посредством операции XOR.

Синдром равен произведению левой колонки (CL "coset leader") стандартного массива на транспонированную матрицу контроля четности H^T.

Чтобы преобразовать полученный код в правильный, нужно умножить полученный код на транспонированную матрицу проверки четности, с тем чтобы получить синдром. Полученное значение левой колонки стандартного массива добавляется (XOR!) к полученному коду, чтобы получить его истинное значение. Например, если мы получили 001100, умножаем этот код на H^T:

этот результат указывает на место ошибки, истинное значение кода получается в результате операции XOR:

под горизонтальной чертой записано истинное значение кода.

Транспортировка данных подвержена влиянию шумов и наводок, которые вносят искажения. Если вероятность повреждения данных мала, достаточно зарегистрировать сам факт искажения и повторить передачу поврежденного фрагмента.

Когда вероятность искажения велика, например, в каналах коммуникаций с геостационарными спутниками, используются методы коррекции ошибок. Одним из таких методов является FEC (Forward Error Correction, иногда называемое канальным кодированием [1]). Технология FEC последнее время достаточно широко используется в беспроводных, локальных сетях (WLAN). Существуют две основные разновидности FEC: блочное кодирование и кодирование по методу свертки.

Блочное кодирование работает с блоками (пакетами) бит или символов фиксированного размера. Метод свертки работает с потоками бит или символов произвольной протяженности. Коды свертки при желании могут быть преобразованы в блочные коды.

Существует большое число блочных кодов, одним из наиболее важных является алгоритм Рида-Соломона, который используется при работе с CD, DVD и жесткими дисками ЭВМ. Блочные коды и коды свертки могут использоваться и совместно.

Метод коррекции ошибок FEC (Forward Error Correction)

Для FEC-кодирования иногда используется метод свертки, который впервые был применен в 1955 году. Главной особенностью этого метода является сильная зависимость кодирования от предыдущих информационных битов и высокие требования к объему памяти. FEC-код обычно просматривает при декодировании 2-8 бит десятки или даже сотни бит, полученных ранее. Смотри также RFC-3452, -3453, -3695, -5052.

В 1967 году Эндрю Витерби (Andrew Viterbi) разработал технику декодирования, которая стала стандартной для кодов свертки. Эта методика требовала меньше памяти. Метод свертки более эффективен, когда ошибки распределены случайным образом, а не группируются в кластеры. Работа же с кластерами ошибок более эффективна при использовании алгебраического кодирования.

Одним из широко используемых разновидностей коррекции ошибок является турбо кодирование, разработанное американской аэрокосмической корпорацией. В этой схеме комбинируется два или более относительно простых кодов свертки. В FEC, также как и в других методах коррекции ошибок (коды Хэмминга, алгоритм Рида-Соломона и др.), блоки данных из k бит снабжаются кодами четности, которые пересылаются вместе с данными, и обеспечивают не только детектирование, но и исправление ошибок. Каждый дополнительный (избыточный) бит является сложной функцией многих исходных информационных бит. Исходная информация может содержаться в выходном передаваемом коде, тогда такой код называется систематическим, а может и не содержаться.

В результате через канал передается n-битовое кодовое слово (n>k). Конкретная реализация алгоритма FEC характеризуется комбинацией (n,k). Применение FEC в Интернет регламентируется документом RFC-3452. Коды FEC могут исключить необходимость обратной связи при потере или искажении доставленных данных (запросы повторной передачи). Особенно привлекательна технология FEC при работе с мультикастинг-потоками, где ретрансмиссия не предусматривается (см. RFC-3453).

В 1974 году Йозеф Оденвальдер (Joseph Odenwalder) объединил возможности алгебраического кодирования и метода свертки. Хорошего результата можно добиться, введя специальную операцию псевдослучайного перемешивания бит (interleaver).

В 1993 году группой Клода Берроу (Claude Berrou) был разработан турбо код. В кодеке, реализующем этот алгоритм, содержатся кодировщики как минимум двух компонент (реализующие алгебраический метод или свертку). Кодирование осуществляется для блоков данных. Здесь также используется псевдослучайное перемешивание бит перед передачей. Это приводит к тому, что кластеры ошибок, внесенных при транспортировке, оказываются разнесенными случайным образом в пределах блока данных.

На рис. 2. проводится сравнение вариантов BER (bit error rate) при обычной транспортировке данных через канал и при передаче тех же данных с использованием коррекции ошибок FEC для разных значений отношения сигнал-шум (S/N). Из этих данных видно, что при отношении S/N= 8 дБ применение FEC позволяет понизить BER примерно в 100 раз. При этом достигается результат, близкий (в пределах одного децибела) к теоретическому пределу Шеннона.

За последние пять лет были разработаны программы, которые позволяют оптимизировать структуры турбо-кодов. Улучшение BER для турбо-кодов имеет асимптотический предел и дальнейшее увеличение S/N уже не дает никакого выигрыша. Но схемы, позволяющие смягчить влияние этого насыщения, продолжают разрабатываться.

Рис. 2.

Турбо кодек должен иметь столько же компонентных декодеров, сколько имеется кодировщиков на стороне передатчика. Декодеры соединяются последовательно

Рис. 3. Турбо декодер

Техника FEC находит все большее применение в телекоммуникациях, например, при передачи мультимедиа [2].

Ссылки

Введение в коды Рида-Соломона: принципы, архитектура и реализация

Коды Рида-Соломона были предложены в 1960 Ирвином Ридом (Irving S. Reed) и Густавом Соломоном (Gustave Solomon), являвшимися сотрудниками Линкольнской лаборатории МТИ. Ключом к использованию этой технологии стало изобретение эффективного алгоритма декодирования Элвином Беликамфом (Elwyn Berlekamp; http://en.wikipedia.org/wiki/Berlekamp-Massey_algorithm), профессором Калифорнийского университета (Беркли). Коды Рида-Соломона (см. также http://www.4i2i.com/reed_solomon_codes.htm) базируются на блочном принципе коррекции ошибок и используются в огромном числе приложений в сфере цифровых телекоммуникаций и при построении запоминающих устройств. Коды Рида-Соломона применяются для исправления ошибок во многих системах, включая:

• Устройства памяти (включая магнитные ленты, CD, DVD, штриховые коды, и т.д.)
• Беспроводные или мобильные коммуникации (включая сотовые телефоны, микроволновые каналы и т.д.)
• Спутниковые коммуникации
• Цифровое телевидение / DVB (digital video broadcast).
• Скоростные модемы, такие как ADSL, xDSL и т.д...

На рис. 4 показаны практические приложения (дальние космические проекты) коррекции ошибок с использованием различных алгоритмов (Хэмминга, кодов свертки, Рида-Соломона и пр.). Данные и сам рисунок взяты из http://en.wikipedia.org/wiki/Reed-Solomon_error_correction..

Рис. 4. Несовершенство кода, как функция размера информационного блока для разных задач и алгоритмов

Типовая система представлена ниже (см. http://www.4i2i.com/reed_solomon_codes.htm):

Рис. 5. Схема коррекции ошибок Рида-Соломона

Кодировщик Рида-Соломона берет блок цифровых данных и добавляет дополнительные "избыточные" биты. Ошибки происходят при передаче по каналам связи или по разным причинам при запоминании (например, из-за шума или наводок, царапин на CD и т.д.). Декодер Рида-Соломона обрабатывает каждый блок, пытается исправить ошибки и восстановить исходные данные. Число и типы ошибок, которые могут быть исправлены, зависят от характеристик кода Рида-Соломона.

Свойства кодов Рида-Соломона

Коды Рида-Соломона являются субнабором кодов BCH и представляют собой линейные блочные коды. Код Рида-Соломона специфицируются как RS(n,k) s-битных символов..

Это означает, что кодировщик воспринимает k информационных символов по s бит каждый и добавляет символы четности для формирования n символьного кодового слова. Имеется n-k символов четности по s бит каждый. Декодер Рида-Соломона может корректировать до t символов, которые содержат ошибки в кодовом слове, где 2t = n-k.

Диаграмма, представленная ниже, показывает типовое кодовое слово Рида-Соломона:

Рис. 6. Структура кодового слова R-S

Пример: Популярным кодом Рида-Соломона является RS(255,223) с 8-битными символами. Каждое кодовое слово содержит 255 байт, из которых 223 являются информационными и 32 байтами четности. Для этого кода:

n = 255, k = 223, s = 8
2t = 32, t = 16

Декодер может исправить любые 16 символов с ошибками в кодовом слове: то есть, ошибки могут быть исправлены, если число искаженных байт не превышает 16.

При размере символа s, максимальная длина кодового слова (n) для кода Рида-Соломона равна n = 2^s – 1.

Например, максимальная длина кода с 8-битными символами (s=8) равна 255 байтам.

Коды Рида-Соломона могут быть в принципе укорочены путем обнуления некоторого числа информационных символов на входе кодировщика (передавать их в этом случае не нужно). При передаче данных декодеру эти нули снова вводятся в массив.

Пример: Код (255,223), описанный выше, может быть укорочен до (200,168). Кодировщик будет работать с блоком данных 168 байт, добавит 55 нулевых байт, сформирует кодовое слово (255,223) и передаст только 168 информационных байт и 32 байта четности.

Объем вычислительной мощности, необходимой для кодирования и декодирования кодов Рида-Соломона зависит от числа символов четности. Большое значение t означает, что большее число ошибок может быть исправлено, но это потребует большей вычислительной мощности по сравнению с вариантом при меньшем t.

Ошибки в символах

Одна ошибка в символе происходит, когда 1 бит символа оказывается неверным или когда все биты не верны.

Пример: Код RS(255,223) может исправить до 16 ошибок в символах. В худшем случае, могут иметь место 16 битовых ошибок в разных символах (байтах). В лучшем случае, корректируются 16 полностью неверных байт, при этом исправляется 16 x 8=128 битовых ошибок.

Коды Рида-Соломона особенно хорошо подходят для корректировки кластеров ошибок (когда неверными оказываются большие группы бит кодового слова, следующие подряд).

Декодирование

Алгебраические процедуры декодирования Рида-Соломона могут исправлять ошибки и потери. Потерей считается случай, когда положение неверного символа известно. Декодер может исправить до t ошибок или до 2t потерь. Данные о потере (стирании) могут быть получены от демодулятора цифровой коммуникационной системы, т.е. демодулятор помечает полученные символы, которые вероятно содержат ошибки.

Когда кодовое слово декодируется, возможны три варианта:

1. Если 2s + r < 2t (s ошибок, r потерь), тогда исходное переданное кодовое слово всегда будет восстановлено,




В противном случае



2. Декодер детектирует ситуацию, когда он не может восстановить исходное кодовое слово




или



3. Декодер некорректно декодирует и неверно восстановит кодовое слово без какого-либо указания на этот факт.

Вероятность каждого из этих вариантов зависит от типа используемого кода Рида-Соломона, а также от числа и распределения ошибок.

Преимущество кодирования

Преимущество использования кодов Рида-Соломона заключается в том, что вероятность сохранения ошибок в декодированных данных обычно много меньше, чем вероятность ошибок, если коды Рида-Соломона не используются. Это часто называется выигрышем кодирования.

Пример: Пусть имеется цифровая телекоммуникационная системы, работающая с BER (Bit Error Ratio) равной 10^-9, т.е. не более 1 из 10⁹ бит передается с ошибкой. Такого результата можно достичь путем увеличения мощности передатчика или применением кодов Рида-Соломона (или другого типа коррекции ошибок). Алгоритм Рида-Соломона позволяет системе достичь требуемого уровня BER с более низкой выходной мощностью передатчика.

Архитектура кодирования и декодирования кодов Рида-Соломона

Кодирование и декодирование Рида-Соломона может быть выполнено аппаратно или программно.

Арифметика конечного поля Галуа

Коды Рида-Соломона базируются на специальном разделе математики – полях Галуа (GF) или конечных полях. Арифметические действия (+, -, x, / и т.д.) над элементами конечного поля дают результат, который также является элементом этого поля. Кодировщик или декодер Рида-Соломона должны уметь выполнять эти арифметические операции. Эти операции для своей реализации требуют специального оборудования или специализированного программного обеспечения.

Образующий полином

Кодовое слово Рида-Соломона формируется с привлечением специального полинома. Все корректные кодовые слова должны делиться без остатка на эти образующие полиномы. Общая форма образующего полинома имеет вид:

g(x) = (x-aⁱ)(x-aⁱ⁺¹)…(x-a^i+2t)

а кодовое слово формируется с помощью операции:

c(x) = g(x).i(x)

где g(x) является образующим полиномом, i(x) представляет собой информационный блок, c(x) – кодовое слово, называемое простым элементом поля.

Пример: Генератор для RS(255,249)

g(x)= (x-a⁰)(x-a¹)(x-a²)(x-a3)(x-a⁴)(x-a⁵)
g(x)= x⁶ + g5x⁵ + g3x³ + g2x² + g1x¹ + g0

Архитектура кодировщика

2t символов четности в кодовом слове Рида-Соломона определяются из следующего соотношения:.

p(x) = i(x)·x ^n-k mod g(x)

Ниже показана схема реализации кодировщика для версии RS(255,249):

Рис. 7. Схема кодировщика R-S

Каждый из 6 регистров содержит в себе символ (8 бит). Арифметические операторы выполняют сложение или умножение на символ как на элемент конечного поля..

Архитектура декодера

Общая схема декодирования кодов Рида-Соломона показана ниже на рис. 8.

Рис. 8. Схема работы с кодами Рида-Соломона

Обозначения

r(x) Полученное кодовое слово
Si - Синдромы
L(x) - Полином локации ошибок
Xi - Положения ошибок
Yi - Значения ошибок
c(x) - Восстановленное кодовое слово
v - Число ошибок.

Полученное кодовое слово r(x) представляет собой исходное (переданное) кодовое слово c(x) плюс ошибки:.

r(x) = c(x) + e(x)

Декодер Рида-Соломона пытается определить позицию и значение ошибки для числа t ошибок (или 2t потерь) и исправить ошибки и потери.

Вычисление синдрома

Вычисление синдрома похоже на вычисление четности. Кодовое слово Рида-Соломона имеет 2t синдромов, это зависит только от ошибок (а не передаваемых кодовых слов). Синдромы могут быть вычислены путем подстановки 2t корней образующего полинома g(x) в r(x).

Нахождение позиций символьных ошибок

Это делается путем решения системы уравнений с t неизвестными. Существует несколько быстрых алгоритмов для решения этой задачи. Эти алгоритмы используют особенности структуры матрицы кодов Рида-Соломона и сильно сокращают необходимую вычислительную мощность. Делается это в два этапа:

1. Определение полинома локации ошибок




Это может быть сделано с помощью алгоритма Berlekamp-Massey или алгоритма Эвклида. Алгоритм Эвклида используется чаще на практике, так как его легче реализовать, однако, алгоритм Berlekamp-Massey позволяет получить более эффективную реализацию оборудования и программ..



2. Нахождение корней этого полинома. Это делается с привлечением алгоритма поиска Chien.

Нахождение значений символьных ошибок

Здесь также нужно решить систему уравнений с t неизвестными. Для решения используется быстрый алгоритм Forney.

Реализация кодировщика и декодера Рида-Соломона
Аппаратная реализация

Существует несколько коммерческих аппаратных реализаций. Имеется много разработанных интегральных схем, предназначенных для кодирования и декодирований кодов Рида-Соломона. Эти ИС допускают определенный уровень программирования (например, RS(255,k), где t может принимать значения от 1 до 16).

Программная реализация

До недавнего времени, программные реализации в "реальном времени" требовали слишком большой вычислительной мощности для практически всех кодов Рида-Соломона. Главной трудностью в программной реализации кодов Рида-Соломона являлось то, что процессоры общего назначения не поддерживают арифметические операции для поля Галуа. Однако оптимальное составление программ в сочетании с возросшей вычислительной мощностью позволяют получить вполне приемлемые результаты для относительно высоких скоростей передачи данных.

На рис. 9 показана фотография поверхности Марса, полученная американской станцией "Curiosity" (2012г). Сам Марс с Земли даже с помощью бинокля виден плохо. Современные методы коррекции ошибок позволяют получить приемелемы результат даже в условиях, когда шум на порядки превышает сигнал. Смотри также рис. 4.

Рис. 9. Фотография, полученная марсианской станцией Curiosity (США)

Ссылки