Previous: 6.4.2 Алгоритм шифрования RSA    UP: 6.4 Системы шифрования     Next: 6.4.4 Безопасная почта PGP

6.4.3 Электронная подпись

Семенов Ю.А. (ИТЭФ-МФТИ)
Yu. Semenov (ITEP-MIPT)

В конце любого письма мы привыкли ставить подпись с тем, чтобы уведомить получателя о том, кто является отправителем данного документа. Кроме того, подпись ответственного лица придает документу юридическую силу. По мере внедрения электронных средств доставки документов (факс и электронная почта) проблема их достоверности обрела крайнюю актуальность. Ведь копирование любой последовательности битов или пикселей не представляет никакой трудности. Современные телекоммуникационные каналы уязвимы для перехвата и искажения пересылаемых документов.

Рассмотрим сначала то, от каких действий злоумышленника должна защищать система идентификации.

• Отказ от выполненных действий. Субъект утверждает, что он не посылал некоторый документ, хотя на самом деле он его послал.
• Модификация документа. Получатель модифицирует полученный документ и утверждает, что именно такую версию документа он и получил.
• Подделка. Субъект фабрикует сообщение и утверждает, что оно ему прислано.
• Перехват. Злоумышленник С перехватывает сообщение, посланное А к В с целью модификации.
• Маскировка. Посылка сообщения от чужого имени.
• Повтор. Злоумышленник С посылает повторно сообщение от А к Б, перехваченное им ранее.

Решение практически всех этих проблем может быть реализовано с помощью электронной подписи, базирующейся на алгоритме RSA. Рассмотрим принципы, на которых базируется электронная подпись.

Пусть имеются секретные коды d, p и q, а также открытые e и n=pq. Пусть также А передает сообщение DATA адресату Б. Электронная подпись отправителя А базируется на его секретном ключе и открытом ключе получателя Б. Сначала отправитель с помощью хэш-функции (SHS - Secure Hash Standard; www.nist.gov/itl/div897/pubs/fip180-1.htp) генерирует дайджест своего сообщения длиной 160 бит (5 слов). Затем с помощью своего секретного ключа он формирует электронную подпись. При этом А не может отказаться от того, что именно он послал сообщение, так как только он знает свой секретный ключ. Электронную подпись нельзя использовать повторно и подписанный документ нельзя модифицировать, так как любые модификации неизбежно изменят его дайджест, а, следовательно, и электронную подпись. Получатель с помощью открытого ключа дешифрует код электронной подписи, а затем с использованием дайджеста проверяет ее корректность.

Национальный институт стандартов США принял стандарт DSS (Digital Signature Standard; www.itl.nist.gov/div897/pubs/fip198.htm), в основу которого легли алгоритмы Эль-Гамаля и RSA.

Рассмотрим алгоритмы вычисления дайджеста сообщения, электронной подписи и идентификации отправителя. Начнем с алгоритма SHA (Secure Hash Algorithm).

Сначала сообщение разбивается на блоки длиной 512 бит. Если длина сообщения не кратна 512, к последнему блоку приписывается справа 1, после чего он дополняется нулями до 512 бит. В конец последнего блока записывается код длины сообщения. В результате сообщение приобретает вид n 16-разрядных двоичных слов M₁,M₂,…,M_n. M₁ содержит первый символ.

Алгоритм SHA использует 80 логических функций f₀,f₁,…,f₇₉, которые производят операции над тремя 32-разрядными словами (B,C,D):

ft(B,C,D) = (B AND C) OR ((NOT B) AND D)	для 0 ≤t≤ 19
ft(B,C,D) = B XOR C XOR D	для 20 ≤ t ≤ 39
ft(B,C,D) = (B AND C) OR (B AND D) OR (C AND D)	для 40 ≤ t ≤ 59
ft(B,C,D) = B XOR C XOR D	для 60 ≤ t ≤ 79

В алгоритме используется также 80 констант K₁,K₂,…, K₇₉:

Kt = 5A827999	для 0 ≤ t ≤ 19
Kt = 6ED9EBA1	для 20 ≤ t ≤ 39
Kt = 8F1BBCDC	для 40 ≤ t ≤ 59
Kt = CA62C1D6	для 60 ≤ t ≤ 79

Вводится 5 переменных H_i инициализируемых как:

H₀ = 67452301
H₁ = EFCDAB89
H₂ = 98BADCFE
H₃ = 10325476
H₄ = C3D2E1F0

Делим массив M на группы из 16 слов W₀, W₁,…,W₁₅ (W₀ самое левое слово).

Для t = 16 - 79 w_t = S¹(W_t-3 XOR W_t-8 XOR W_t-14 XOR W_t-16)

A^k означает операцию циклического сдвига влево на k разрядов.

Пусть теперь A = H₀, B = H₁, C = H₂, D = H₃, E = H₄.
for t = 0 to 79 do
TEMP = S⁵(A) + f_t(B,C,D) + E + W_t + K_t. (TEMP - временная переменная).
E = D; D = C; C = S³⁰(B); B = A; A = TEMP;
Пусть H₀ = H₀ + A; H₁ = H₁ + B; H₂ = H₂ + C; H₃ = H₃ + D; H₄ = H₄ + E.

В результате обработки массива М будет получено 5 слов H₀, H₁, H₂, H₃, H₄ с общей длиной 160 бит, которые и образуют дайджест сообщения. Полученная кодовая последовательность с высокой степенью уникальности характеризует сообщение. Любое редактирование сообщения практически неизбежно приведет к изменению дайджеста. Поскольку алгоритм вычисления дайджеста общеизвестен, он не может рассматриваться как гарантия предотвращения модификации сообщения. Смысл вычисления дайджеста заключается в уменьшении объема данных, подлежащих шифрованию. Для того чтобы превратить дайджест в электронную подпись надо воспользоваться секретным ключом. Схема реализации алгоритма DSA (Digital Signature Standard) показана на рис. 6.4.3.1.

Рис. 6.4.3.1. Схема вычисления и верификации электронной подписи (DSA)

DSA использует следующие параметры (www.itl.nist.gov/div897/pubs/fip186.htm):

p - простое число, которое при 512Ј L Ј 1024 удовлетворяет условию 2^L-1 < p < 2^L, L кратно 64.
q - простой делитель p-1, где 2¹⁵⁹ < q < 2¹⁶⁰.
g = h^(p-1)/q mod p, где h любое целое, для которого 1 < h < p-1 и h^(p-1)/q mod p > 1.
x равно случайному или псевдослучайному целому числу, для которого 0 < x < q.
y = g^x mod p.

k равно случайному или псевдослучайному целому числу, для которого 0 < k < q.

Целые p, q и g могут быть общедоступными и использоваться группой пользователей. Секретным и открытым ключами являются х и у, соответственно. Параметры х и k используются только для формирования электронной цифровой подписи и должны храниться в секрете. Параметр k генерируется для каждой подписи.

Подпись сообщения M представляет собой два числа r и s, вычисленные согласно формулам:

r = (gk mod p) mod q
s = (k^-1(SHA(M) + xr)) mod q. (здесь k^-1 величина обратная k).

SHA(M) - представляет собой дайджест сообщения M (160-битовая строка). После вычисления r и s следует проверить, не равно ли одно из них нулю.

Для верификации электронной подписи проверяющая сторона должна иметь параметры p, q и g, а также открытый ключ отправителя (подписанта) y.

Пусть M`, r` и s` представляют собой полученное сообщение и электронную подпись. Получатель начинает верификацию с проверки условия 0 < r` < q и 0 < s` < q. Если хотя бы одно из условий не выполнено, электронная подпись некорректна. Далее производится вычисление:

Если v = r`, верификация подписи завершилась успешно и получатель может с высокой вероятностью быть уверен, что он получил сообщение от партнера, владеющего секретным ключом х, соответствующим открытому ключу у. Если же v не равно r`, то сообщение было модифицировано или подписано самозванцем. В ссылке 3 на предыдущей странице можно найти описание алгоритма нахождения (проверки) простых чисел и генерации псевдослучайных чисел.